\section{Inestabilidad Num\'erica Al Resolver Sistemas Lineales}
\sectionmark{Inestabilidad num\'erica}

Dado un sistema lineal de la forma $Ax = b$, puede resolverse 
num\'ericamente llegando a una aproximaci\'on de la soluci\'on 
$\tilde{x}$. 
La soluci\'on es aproximada porque se trabaja con aritm\'etica finita. 

\par
Puede ocurrir que $A\tilde{x} = \tilde{b}$ con $|b - \tilde{b}|$ 
pequeño. 
¿Cu\'an buen indicador es $|b - \tilde{b}|$ de la cercan\'ia de 
$\tilde{x}$ a la soluci\'on real del sistema? 
En general \textbf{no} es un buen indicador, depende del 
\textsl{condicionamiento} de la matriz.

\paragraph{}
Una matriz no singular $A$ se dice mal condicionada cuando para el 
sistema $Ax = b$ un pequeño cambio relativo en $b$ puede causar un 
cambio relativo grande en la soluci\'on $x$. 

\par
El grado de mal condicionamiento est\'a indicado por el n\'umero de 
condici\'on de $A$, $\displaystyle K(A) \defas \|A\|\|A^{-1}\|$. 
Para cualquier norma consistente se cumple que siempre $K(A) \geq 1$.

\begin{property}
	Sean $\tilde{x}$ la soluci\'on aproximada hallada del sistema 
	$Ax = b$, siendo $A$ no singular, $r$ el residuo definido como 
	$r = b - A\tilde{x} = b - \tilde{b}$; entonces valen las siguientes 
	cotas para el error absoluto y relativo
	\begin{displaymath}
		\begin{array}{rcccl}
		\displaystyle \varepsilon_{abs}(x) & \defas & \|x-\tilde{x}\| 
		& \leq & \|r\| * \|A^{-1}\| \\ \\
		\varepsilon_{r}(x) & \defas & \displaystyle 
		\frac{\|x-\tilde{x}\|}{\|x\|} & \leq & \|A\|*\|A^{-1}\|* 
		\displaystyle \frac{\|r\|}{\|b\|} = K(A) * \varepsilon_{r}(b)
		\end{array}
	\end{displaymath}
\end{property}

Un n\'umero de condici\'on elevado indica que la matriz tiene dos o 
m\'as columnas \textsl{casi} linealmente dependientes, con lo que la 
matriz resulta \textsl{casi} singular, y se aproxima a tener infinitas 
soluciones para el sistema.

\begin{example}
	Sea el sistema $Ax = b$. Las columnas de $A$ son 
	$(1; 1.0001)^t$ y $(2; 2)^t$ y $b = (3; 3.0001)^t$. 
	La soluci\'on verdadera es igual a $(1; 1)$, mientras que por 
	errores de redondeo se llega a la soluci\'on aproximada $(3; 0)$. 
	En este caso, el n\'umero de condici\'on de $A$ es $\approx 60000$, 
	y el error relativo de $x$ es igual a $2$.	
\end{example}

\begin{remark}
	Visto geom\'etricamente en el plano, las dos rectas determinadas 
	por las columnas de $A$ son casi paralelas, con lo cual determinar 
	el punto de intersecci\'on ocasiona mucho error. Una perturbaci\'on 
	m\'inima en el sistema, producto de errores, genera que el punto de 
	intersecci\'on se mueva dr\'asticamente.
\end{remark}
